一、作業範圍與考試方向
這份講義的主軸是「多項式的加減」，由基礎定義一路延伸到圖形題、次數判斷與進階題。考試最可能不是只考計算，還會混合判斷題與條件題。
| 講義區塊 | 內容重點 | 考試容易怎麼考 | 重要度 |
|---|---|---|---|
| 多項式定義 | 判斷一個式子是不是 x 的多項式；常數也可看成多項式。 | 選擇題：分母、根號、絕對值、負次方、等號是否能算多項式。 | ★★★★★ |
| 項、係數、常數項、次數 | 單項式、二項式、三項式；係數要連同正負號；次數看最高次且要先化簡。 | 填空題：二次項係數、一次項係數、常數項、幾次多項式。 | ★★★★★ |
| 同類項與化簡 | 同類項必須「文字相同、次方相同」；只合併係數。 | 計算題：橫式或直式合併，尤其有括號與減號。 | ★★★★★ |
| 找缺少的多項式 | 已知和、差或運算結果，反推出 A 或 B。 | 應用代數題：A − B 已知、A + 2B 已知、A + B 已知，求 A − B。 | ★★★★☆ |
| 多項式與圖形 | 用多項式表示面積、周長，再代入 x 的數值。 | 圖形題：長方形、凸字形、階梯形面積或周長。 | ★★★★☆ |
| 次數與常數多項式 | 高次項可能因係數為 0 消失；兩個同次多項式相減可能降次。 | 條件題：求 m、n、a、b；判斷結果一定幾次或不一定。 | ★★★★☆ |
| 進階題 | 代入、巢狀括號、同類項指數條件、數線距離、三個多項式聯立。 | 挑戰題：整合多個觀念，最常卡在「負號」與「消去」。 | ★★★☆☆ |
二、一頁掌握：6/12 前必背結論
多項式的樣子
只由常數、變數 x、加減乘與非負整數次方組成。像 3x2−5x+1、(2/3)x 是；但 x 在分母、根號、絕對值裡，通常不是本章所說的 x 多項式。
係數要帶符號
−5x2−3x+1 的二次項係數是 −5，一次項係數是 −3，常數項是 1。
次數看最高次
多項式要先化簡，再看最高次方。非零常數是 0 次；零多項式的次數不可言。
同類項
同類項不是看係數，而是看「變數與次方」。6x2 與 −2x2 同類；6x 與 6y 不同類。
括號前是負號
減去一個多項式，就是把括號內每一項全部變號。這是本章最常錯的地方。
標準排列
沒有特別要求時，通常按次方由大到小排列：9x2+2x+11。
三、核心觀念詳細整理
1. 什麼是多項式？
以 x 為變數時，多項式可以想成很多個「常數 × x 的非負整數次方」加減在一起。
(2/3)x、4x2−6x+9、−9、3、0。常數也算多項式。
例如 6/x−7、1/(x−1)、|3x|−8、根號裡含 x、x−2。另外，像 −x+3=0 這種含有等號的是「方程式」，不是單純的多項式。
2. 項、係數、常數項
多項式用加減號分成一項一項，每一項的數字部分叫係數；沒有 x 的項叫常數項。
| 例子 | 項 | 係數 | 常數項 | 次數 |
|---|---|---|---|---|
| −5x2−3x+1 | −5x2、−3x、1 | 二次項 −5；一次項 −3 | 1 | 2 次 |
| −x3 | −x3 | 三次項 −1 | 0 | 3 次 |
| −9 | −9 | 沒有 x 項 | −9 | 0 次 |
| 0 | 零多項式 | — | 0 | 次數不可言 |
3. 同類項與化簡
同類項的判斷標準只有兩個：文字相同、各文字的次方相同。合併時，只把係數相加減，文字與次方不變。
上式中，二次項合併：−x2+2x2=x2；一次項合併：7x+4x=11x；常數合併：−6+4=−2。
4. 次數的陷阱
(x3+2x)−(x3−1) 化簡後是 2x+1，所以是一 次，不是三次。
若 A、B 都是三次多項式，A−B 可能還是三次，也可能因最高次項消掉而變二次、一次、常數，甚至 0；所以答案常是「不一定」。
5. 常數多項式
要讓一個含 x 的式子變成常數多項式，就要讓所有含 x 的項係數都等於 0；常數項不需要設為 0。
四、考試題型整理：看到題目要想到什麼？
| 題型 | 出題長相 | 解題關鍵 | 常見錯誤 |
|---|---|---|---|
| 判斷多項式 | 給一串式子，問有幾個是 x 的多項式。 | 先排除等號、分母含 x、根號含 x、絕對值、負次方。 | 把方程式或絕對值式誤認為多項式。 |
| 係數與次數 | 問二次項係數、一次項係數、常數項。 | 係數連同正負號；缺項係數為 0。 | 把 −x 的係數寫成 1，正確是 −1。 |
| 同類項合併 | 把 7x−x2+4x−6+2x2+4 化簡。 | 依 x2、x、常數分組。 | 把不同次方合併，例如把 x2 和 x 加在一起。 |
| 括號加減 | (5x2−1+6x)−(2x+3x2) | 括號前是「−」時，括號內每一項變號。 | 只把第一項變號，後面忘記變號。 |
| 反求多項式 | 已知 A 減某式等於結果，求 A。 | 把被減掉的多項式移回去：A = 結果 + 某式。 | 把加回去寫成再減一次。 |
| 圖形題 | 用 x 表示面積或周長，或代入 x=2。 | 先標出每段長，再用長方形面積、周長公式。 | 周長漏邊；面積沒有先拆圖。 |
| 次數條件 | 「為一次多項式，求 m、n」或「A−B 幾次」。 | 高次項係數要變 0，目標次項係數不能為 0。 | 只讓高次項消掉，忘記檢查一次項不能消掉。 |
| 常數多項式 | 含 a、b 的式子要成為常數。 | x2 項係數 = 0，x 項係數 = 0。 | 把常數項也設成 0；其實常數項可以不是 0。 |
五、解題流程與速記口訣
多項式化簡四步驟
- 去括號：注意括號前的正負號與倍數。
- 分種類：把 x2、x、常數等分開。
- 合係數：同類項只加減係數。
- 標準排：由高次到低次，最後寫常數項。
三句口訣
六、代表範例演練
以下不是把講義原題全部重抄，而是依照講義題型重組成考前最需要會的代表題。
範例 1｜判斷哪些是 x 的多項式
判斷下列哪些是 x 的多項式：−x+3=0、(2/3)x、6/x−7、|3x|−8、−9、4x2−6x+9。
(2/3)x 的 x 只是乘上常數 2/3，所以是多項式。
因此 (2/3)x、−9 與 4x2−6x+9 是 x 的多項式。
範例 2｜項、係數、常數項、次數
多項式 −5x2−3x+1 是幾次多項式？各項係數為何？
範例 3｜合併同類項
化簡：7x−x2+4x−6+2x2+4
答案：x2+11x−2。
範例 4｜括號前面是減號
化簡：(5x2−1+6x)−(2x+3x2)
合併後：2x2+4x−1。
範例 5｜倍數分配與三個括號
化簡：3(x2+3x+5)+2(−2x+4x2+1)−(2x2+3x+6)
3x2+9x+15−4x+8x2+2−2x2−3x−6
合併：x2 項 3+8−2=9；x 項 9−4−3=2；常數 15+2−6=11。
答案：9x2+2x+11。
範例 6｜已知差，反求 A
已知 A−(2x2−3x+5)=3x2+9x−8，求 A。
A=(3x2+9x−8)+(2x2−3x+5)
答案：A=5x2+6x−3。
範例 7｜已知 A+2B 與 A+B，求 A−B
若 A+2B=x2+9x−12，A+B=x2+4x−5，求 A−B。
A=(A+B)−B=x2+4x−5−(5x−7)=x2−x+2。
所以 A−B=x2−x+2−(5x−7)=x2−6x+9。
範例 8｜次數條件：變成一次多項式
若 (m−3)x3+(2n+6)x2+2mx+n+1 是 x 的一次多項式，求 m、n 的值。
m−3=0，所以 m=3；2n+6=0，所以 n=−3。
此時一次項係數為 2m=6，不等於 0，所以確實是一次多項式。常數項不影響「一次」這件事。
範例 9｜A 是二次、B 是一次，A+2B 幾次？
已知 A 為 x 的二次多項式，B 為 x 的一次多項式，則 A+2B 為幾次多項式？
範例 10｜A、B 都是三次，A−B 一定三次嗎？
若 A、B 都是 x 的三次多項式，則 A−B 一定是三次多項式嗎？
範例 11｜常數多項式
若 A=a(x2−2x+1)+b(x2−2)+x−5 是常數多項式，如何處理？
因為要是常數多項式，所以 a+b=0、−2a+1=0。
解得 a=1/2、b=−1/2，此時 A 的值為 −7/2。
範例 12｜圖形題：用多項式表示周長
若長方形長為 3x−1、寬為 x+1，用 x 表示周長。
七、6/12 考前讀書計畫
觀念檢查
目標：多項式定義、項與係數、常數項、次數。
做法：把「不是多項式」的原因說出來：分母、根號、絕對值、負次方、等號。
計算熟練
目標：同類項、去括號、直式加減。
做法：每題都先標 x2、x、常數，再合併；錯題重做一次。
題型整合
目標：反求 A、圖形題、次數條件、常數多項式。
做法：題目一看先判斷是哪一型，再套流程。
| 時間 | 安排 | 完成標準 |
|---|---|---|
| 6/10 | 複習核心觀念＋做判斷題、係數題。 | 能說出「為什麼不是多項式」，且係數不漏負號。 |
| 6/11 | 集中練化簡、括號、直式、多項式加減。 | 每題最後都排成由高次到低次。 |
| 6/12 放學後 | 做自我小測＋重看錯題。 | 錯題能講出卡在哪一步。 |
| 6/12 18:30 | 只看口訣與檢核清單，不再硬刷新題。 | 把心態穩住，計算時慢一點、負號看清楚。 |
八、考前 12 題自我小測
建議先只看題目作答，再展開最下方答案區核對。這一區特別安排為「題目與答案分開」。
題目區
答案區｜點我展開核對
- 是，非零常數多項式，0 次。
- 不是，因為 x 在分母。
- 三次項係數 −4；一次項係數 2；常數項 −7。
- 4x2+6x−3
- 3x2−3x+8
- 5x2+2x−4
- A=3x2−2x−3
- A=2x2−3x+5
- 二次，因為一次多項式不能抵消 A 的二次項。
- 不一定，二次項可能相加後抵消。
- m=2；n≠−1。
- 2[(2x+3)+(x−1)]=6x+4
九、考前檢核清單
勾選會自動記住在本機瀏覽器中，方便考前反覆檢查。